分解便完成了。这大致上即是费马因式分解法（Fermat's factorization method）的核心。 而二次筛选法改良自狄克森因式分解法（英语：Dixon's factorization method）。 一般来说，二次筛选法的执行时间（去质数分解一个整数 n {\displaystyle。
在数论中，平方同余是个经常被用於整数分解演算法的同余关係。 给定一正整数 n，费马因式分解法想找到两数 x, y 满足下列方程式： x 2 − y 2 = n {\displaystyle x^{2}-y^{2}=n} 从上式我们便可以分解得 n = x2 - y2 = (x + y)(x - y)。。
zai shu lun zhong ， ping fang tong yu shi ge jing chang bei yong yu zheng shu fen jie yan suan fa de tong yu guan 係 。 gei ding yi zheng zheng shu n ， fei ma yin shi fen jie fa xiang zhao dao liang shu x , y man zu xia lie fang cheng shi ： x 2 − y 2 = n { \ d i s p l a y s t y l e x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = n } cong shang shi wo men bian ke yi fen jie de n = x 2 - y 2 = ( x + y ) ( x - y ) 。 。
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{\displaystyle P} 的因式分解问题转化为本原多项式 P / d {\displaystyle P/d} 的因式分解问题。所以有理数系数和整系数多项式的因式分解都等价于本原多项式的因式分解问题。利用本原多项式可以证明：整系数多项式如果能分解为有理系数多项式的乘积，那么也必然能分解。
欧拉因式分解法是一种整数分解方法，重点是用两种方式把要分解的数表示为两数平方和。比如要分解 1000009 {\displaystyle 1000009} ，这个数既能写成 1000 2 + 3 2 {\displaystyle 1000^{2}+3^{2}} ，又能写成 972 2 + 235 2。
整数分解（英语：integer factorization）又称整数因式分解、整数因子分解，或整数因子化，在数论中，“整数的因数分解”是指在可能的情况下，将一个正整数分解为更小整数的乘积，即写成几个因数的乘积。若进一步限制因数为质数，则这个过程称为质因数分解（英语：prime。
) {\displaystyle a\equiv z^{2}{\pmod {n}}} 。这里的陷门是 n {\displaystyle n} 的因式分解。使用陷门， z {\displaystyle z} 的解可以给出为 c x + d y , c x − d y , − c x + d y , −。
n−c或者低达2−nc，所包含的题目范围均不会有变化。这里c是一个正数的常数，n是输入的长度。 演算法所使用量子位元的数目可以为输入大小的任何多项式。举例来说，因式分解n位元整数的演算法使用大约2'n'个量子位元（参考秀尔演算法）。 一般状况之下，量子电脑的计算停止於量子测量上面。测量行为会导致量子位元塌缩到其中。
的因式，次数较g(x)要低。因此一般会对g(x)作因式分解以得到所有的因式hi。 部分分式分解和有理函数相加的作用恰好相反：数个有理函数相加后，会变成一个有理函数，但分子及分母都比原来的次数要高；而部分分式分解会將一个有理函数变为数个分子及分母次数较小的有理函数。 部分分式分解。
ゃōゃ
都是不可简化的分数）。唯一性是独一无二主要因子分解的结果，自从出现 a b = c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 意味著 a d = b c {\displaystyle ad=bc} ，因此等号的双边必须共享相同的因式分解，设主要多重的因数 a {\displaystyle。
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4, 9, 16, 25, 36, 49, 参见平方数。 完全平方可以分解为如下数式: 1=1×1=1², 4=2×2=2², 9=3×3=3²等 可以分解成其它表达式的平方的算数表达式(称为因式分解)，例如：(a ± b)2 =a2 ± 2ab + b2 。（参见和平方或差平方或平方）。
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{\displaystyle X^{2}-X=X(X-1)} 。因式分解后可以看到，这个多项式只有相异的单根（没有多重根），因此 P 是可对角化矩阵。极小多项式也显示出了投影的特性: 像空间与零空间分别是是对应于特征值1和0的特征空间，并给出了整个空间的一个直和分解。 正如日常生活中阳光沿着一定的方向将影子投射到。
因式分解，在这里是指多项式因式分解（英语：Polynomial Factorization），在数学中一般理解为把一个多项式分解为两个或多个的因式的过程。在这个过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。例如单元多项式 x 2 − 1 2 {\displaystyle x^{2}-1^{2}} 可被因式分解为。
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叠加及量子纠缠可能无法解决在经典计算机上进行有效的模擬（参阅量子计算优越性）。 最著名的演算法是用於因式分解的萧尔演算法以及用於搜索非结构化数据库，或无序列表的格罗弗算法。萧尔演算法比最著名的经典分解算法（普通数域筛选法）运行得快得多（呈指数级）。对於相同的任务，格罗弗演算法的查询复杂度跟经典演算法相比有平方的加速。。
在短除法中，要將一个数（称为被除数）除以除数，所得的结果称为商数。利用短除法，可以求解被除数很大，除数很小的除法，將其转换为一连串较简单的运算。 短除法也常用在因式分解，或是最大公因数的计算。 短除法不使用斜线（/）或是除号（÷）等符号。以下是500除以4的短除法，商是125。 125 4 ) 500 ¯ {\displaystyle。
佩龙方法 希尔伯特不可约定理 科恩不可约准则 拓扑空间的不可约成分 有限体上多项式之分解 四次函数#分解成二次函数求解 三次函数#因式分解 不可约情形，具三个实根的不可约三次多项式 二次方程#二次因式分解 Gallian 2012，第311页 Mac Lane & Birkhoff。
分解为对A循环的子空间（由某向量与其在A下的重复像张成的子空间）。由于给定矩阵只能给出一种标准形，因此B与A相似，当且仅当它们有相同的弗罗贝尼乌斯标准形。由于这种形式不涉及任何扩张F域时可能变化的运算（即“有理”），特别是不需要因式分解。
将一个具有多变量的全局函数因子分解，得到几个局部函数的乘积，以此为基础得到的一个双向图叫做因子图。在概率论及其应用中, 因子图是一个在贝叶斯推理中得到广泛应用的模型。 因子图使用一种二模图 用来表示函数因式分解后的结果。 设有函数 g ( X 1 , X 2 , 。 , X n ) {\displaystyle。
\textstyle n=1\cdot n} ；在这样的状况下我们需要试图找到其他適合的同余关係。如果重复尝试后依然分解失败，则我们可以改用另一个因数基底再试一次。 因数基底被用於，例如：狄克森因式分解法、二次筛选法以及普通数域筛选法。 这些演算法基本差別在於生成 (x, y) 数对的方法之上。。
线性代数中，特征分解（Eigendecomposition），又称谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。 N 维非零向量 v 是 N×N 的矩阵 A 的特征向量，当且仅当下式成立： A。
∪△∪
从而得到n的一个因式分解：n = gcd(a-b,n)×gcd(a+b, n) . 这种因式分解可能会产生平凡的结果（即n=n×1），这种情况下需要再次尝试使用不同的关系组合，如果运气足够好，最后就能够得到一对非平凡的n因子，成功将n分解，算法结束。 下面使用有理筛选法分解整数n = 187.。
